Semana 5

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<br>
.right[
# Semana 5
### <br> Regresión Discontinua y Diferencias en Diferencias
]
<br> <br> <br> <br> 
.left[DCDPP - Datos para la evaluación de Políticas Públicas | PUC | 01 de noviembre, 2022]
<hr> 
.left[
<svg aria-hidden="true" role="img" viewBox="0 0 448 512" style="height:1em;width:0.88em;vertical-align:-0.125em;margin-left:auto;margin-right:auto;font-size:inherit;fill:white;overflow:visible;position:relative;"><path d="M224 256c70.7 0 128-57.31 128-128s-57.3-128-128-128C153.3 0 96 57.31 96 128S153.3 256 224 256zM274.7 304H173.3C77.61 304 0 381.6 0 477.3c0 19.14 15.52 34.67 34.66 34.67h378.7C432.5 512 448 496.5 448 477.3C448 381.6 370.4 304 274.7 304z"/></svg> <b>Pablo A. Celhay</b> |  [<svg aria-hidden="true" role="img" viewBox="0 0 512 512" style="height:1em;width:1em;vertical-align:-0.125em;margin-left:auto;margin-right:auto;font-size:inherit;fill:white;overflow:visible;position:relative;"><path d="M464 64C490.5 64 512 85.49 512 112C512 127.1 504.9 141.3 492.8 150.4L275.2 313.6C263.8 322.1 248.2 322.1 236.8 313.6L19.2 150.4C7.113 141.3 0 127.1 0 112C0 85.49 21.49 64 48 64H464zM217.6 339.2C240.4 356.3 271.6 356.3 294.4 339.2L512 176V384C512 419.3 483.3 448 448 448H64C28.65 448 0 419.3 0 384V176L217.6 339.2z"/></svg> pacelhay@uc.cl](mailto:pacelhay@uc.cl)
]

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  pacelhay@uc.cl | <svg aria-hidden="true" role="img" viewBox="0 0 512 512" style="height:1em;width:1em;vertical-align:-0.125em;margin-left:auto;margin-right:auto;font-size:inherit;fill:white;overflow:visible;position:relative;"><path d="M256 0C114.6 0 0 114.6 0 256s114.6 256 256 256s256-114.6 256-256S397.4 0 256 0zM199.2 312.6c14.94 15.06 34.8 23.38 55.89 23.38c.0313 0 0 0 0 0c21.06 0 40.92-8.312 55.83-23.38c9.375-9.375 24.53-9.469 33.97-.1562c9.406 9.344 9.469 24.53 .1562 33.97c-24 24.22-55.95 37.56-89.95 37.56c0 0 .0313 0 0 0c-33.97 0-65.95-13.34-89.95-37.56c-49.44-49.88-49.44-131 0-180.9c24-24.22 55.98-37.56 89.95-37.56c.0313 0 0 0 0 0c34 0 65.95 13.34 89.95 37.56c9.312 9.438 9.25 24.62-.1562 33.97c-9.438 9.344-24.59 9.188-33.97-.1562c-14.91-15.06-34.77-23.38-55.83-23.38c0 0 .0313 0 0 0c-21.09 0-40.95 8.312-55.89 23.38C168.3 230.6 168.3 281.4 199.2 312.6z"/></svg> PUC-Escuela de Gobierno 2022</a>
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</div>

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#.pull-left[.center-l[Outline]]

1. [Regresión Discontinua](#rd)

2. [Diferencias en Diferencias](#did)

]]]

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## 1. Regresión Discontinua

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## Regresión Discontinua

- Un diseño de regresión discontinua es una estrategia de identificación muy poderosa, convincente y aplicable a un gran rango de situaciones

- Es común observar que el acceso o los incentivos a participar en un programa están basados en reglas transparentes de un criterio utiliza puntos de corte
--
 ¿Caso más claro cuando uno postula a una carrera en la U?

- Comparar individuos similares pero en distintos lados de este punto de corte puede ser una forma creíble de estimar efectos de un tratamiento.

- RD funciona bien para validez interna
--
 ¿Qué es esto?
--
 pero no mucho para validez externa

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## RD Sharp

**Ejemplo 1: ¿Cuál es el efecto de ser incumbente en la probabilidad de ganar la siguiente elección?**

- ¿Cuál es la probabilidad de que una PC/PPD/UDI gane la próxima elección dado que una PC/PPD/UDI gano la última elección?

- Siguiendo nuestra terminología:

- `$Y_i$`: probabilidad de ganar la elección en `$t+1$` en el distrito `$i$`
  - `$D_i = 1$` si la última elección la ganó un PC/PPD/UDI 
  - ¿Es `$D_i$` asignado de manera aleatoria en la realidad?
  - ¿Cómo podemos estimar el efecto causal de `$D_i$` sobre `$Y_i$` ?

- Lee (2008) compara resultados electorales en casos donde la elección anterior fue ganada por un margen muy pequeño

---

## Visualización: ¿Cómo cambia la probabilidad de ganar?

- `$D_i = 1$` si la última elección (tiempo `$t$`) la ganó un demócrata 
- `$X_i$`: es la variable de asignación (o **running variable**) en el eje x

---

## Visualización: ¿Cómo cambia la probabilidad de ganar?

- `$Y_i$` : es la probabilidad de que un demócrata gane en `$t+1$` en el distrito `$i$` 
- `$X_i$`: es la variable de asignación (o **running variable**) en el eje x

---

## RD Sharp

- `$D_i \in \{0,1\}$`: Tratamiento

- `$X_i$`: variable de asignación que determina de manera perfecta el valor de `$D_i$`. Sea `$c$` un punto de corte de esta variable `$X_i$`\\

`$D_i = 1\{X_i>c\}$` o bien `$D_i=1$` si `$X_i>c$` y `$D_i=0$` si `$X_i\geq 0$`

- `$X_i$` puede estar correlacionado con `$Y_{1i}$` o `$Y_{0i}$` de manera directa o a través de variable no observadas.

- La intuición clave y básica es que en el punto de corte `$X_i=c$`, el hecho de que una unidad de análisis sea tratada ($D_i=1$) y otra no ($D_i=0$) es similar a un proceso aleatorio

---

## RD Sharp

**Ejemplo 2: ¿Cuál es el efecto de becas para la Universidad?**

- Las becas se dan en función de los resultados de un test de admisión a la Universidad (PSU)

- `$Y_i$`: Salarios post universidad
  - `$D_i = 1$` si la unidad `$i$` recibe la beca
  - `$Y_{1i}$`: Salarios potenciales con beca
  - `$Y_{0i}$`: Salarios potenciales sin beca

- `$Y_{1i}$` y `$Y_{0i}$` están correlacionados con `$X_i$`:
--
 ¿Por qué?
--
 en promedio alumn@s con mejor PSU tienen mayores salarios.

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## Visualización: ¿Cómo cambia la probabilidad de ganar?

- `$D_i = 1$` si obtiene beca
- `$X_i$`: es la variable de asignación (o **running variable**) en el eje x: Puntaje PSU

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## RD Sharp

- Supuesto clave: Continuidad en los resultados potenciales 
  - `$E(Y_{i}|X=x_i)$` es continua en `$x$` alrededor de `$X_i=c$`

- El estimador causal: ATE local alrededor del punto de corte:

`$\tau_{srd}=$`
--
   ¿Cómo es ATE? ¿Cómo sería el estimador en el corte?

`$\tau_{srd}=E(Y_{1i}-Y_{0i}|X=c)$`
--
  - ¿Validez externa?

- Si tenemos continuidad en `$X_i$`
--

`$$\tau_{srd}=lim_{x \to c^{-}} E(Y_{i}|X=x) - lim_{x \to c^{+}} E(Y_{i}|X=x)$$`
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## Visualización: Estimando efectos

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## Visualización: Estimando efectos

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## Visualización: Estimando efectos

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## Visualización: Estimando efectos

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## Visualización: Estimando efectos

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## Visualización: Estimando efectos

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## RD Sharp: Estimación

- Concentrarse en una parte de la muestra alrededor del punto de corte
  - `$c-h\leq X_i \leq c+h$` donde `$h$` es un ancho de banda (vecindad o ventana)

- Recodificar la variable `$X_i$` en "esviaciones de c": `$X_i=X_i - c$`
  - `$X_i=0$` si `$X_i=c$`
  - `$X_i>0$` si `$X_i>c$` `$\rightarrow D_i=1$`
  - `$X_i<0$` si `$X_i<c$` `$\rightarrow D_i=0$`

- Decidir en el modelo para `$E[Y_i | X_i]$`: 
  - Lineal con pendiente común a cada lado del corte
  - Lineal con pendientes distintas
  - No lineal
  - Cada modelo se construe en base a cupuestos sobre los resultados potenciales y los contrafactuales
  - Siempre hay que empezar con una exploración visual (scatter) para ver qué modelo es más plausible

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## RD Sharp: Problemas en estimación

1. Otras variables cambian alrededor del punto de corte
  - Revisar si hay saltos en otras variables

2. Hay discontinuidades en otras valores de la variable `$X_i$` distintos de `$c$`

3. Manipulación del punto de `$X_i$` alrededor de `$c$`
  - Verificar continuidad de la denisdad (número de obs.) alrededor de `$c$`.

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## Visualización: Manipulación

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## Malamud, O., and C. Pop-Eleches. 2011

- ¿Qué pregunta quieren responder?

- ¿Cómo afecta el uso de computadores los resultados escolares?

- ¿Porqué es importante mejorar el acceso a computadores?

- Si hay beneficios importantes de accceder a nuevas tecnologías, esto podría generar brechas socioeconómicas aún mayores
--
 **¿Porqué?**

- ¿Cuál es su símil en Chile?

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## Malamud, O., and C. Pop-Eleches. 2011

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## Malamud, O., and C. Pop-Eleches. 2011

- Buscan estimar el efecto causal de acceder a una computadora en casa en el capital humano de l@s niñ@s que se benefician.

- Programa del Ministerio de Educación de Rumania

- Programa tenía disponible un número fijo de vouchers para comparar computadores

- ¿Cómo se eligieron beneficiarios?
--
 En función de un ranking de ingreso familiar

- ¿Porqué es importante este mecanismo de asignación de computadores para la evaluación empírica?

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## Malamud, O., and C. Pop-Eleches. 2011

- Yo Elijo mi PC: Teoría de Cambio (Gertler et al. 2010)

- ¿Cuál es el objetivo de YEPC?  (pág. 4)

**Insumos:** Recursos financieros, humanos u otros...

**YEPC** Presupuesto, Número de computadores, hogares con necesidad.
  
--

**Actividades:** Acciones emprendidas que transforman insumos en productos...

**YEPC** Entrega de computadores a familias, uso de computadores por integrantes del hogar, 
  
---

## Malamud, O., and C. Pop-Eleches. 2011

- Yo Elijo mi PC: Teoría de Cambio (Gertler et al. 2010)

**Productos:** Productos resultantes de la transformación de insumos a productos tangibles...

**YEPC** Computadores efectivamente instalados en hogares beneficiarios, computadores en funcionamiento
--
 ¿Es esto obvio?

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## Malamud, O., and C. Pop-Eleches. 2011

- Yo Elijo mi PC: Teoría de Cambio (Gertler et al. 2010)

**Productos:** Productos resultantes de la transformación de insumos a productos tangibles...

**YEPC** Computadores efectivamente instalados en hogares beneficiarios, computadores en funcionamiento

**Resultados:** uso de los productos que realiza la población beneficiaria

**YEPC** Número de computadores en uso, horas de uso, tipos de uso (aprendizaje o recreación)

**Resultados finales:** Objetivo final del programa

**YEPC** Mejora puntajes de pruebas estandarizadas y disminuye brecha en test std entre alumn@s de distinto SES, reduce tasa de deserción escolar, mejora empleabilidad, etc.

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## Antes de ver el detalle

- Pensemos junt@s la regresión que Malamud, O., and C. Pop-Eleches. 2011 deberían correr

- ¿Cuál es la pregunta de impacto aquí?

- ¿Cuál es el escenario contrafactual?

- ¿Qué datos necesitamos?

- Con estos datos, ¿cómo escribimos la regresión para el análisis de impacto?

- ¿Cómo estimamos esta regresión? ¿Qué supuestos hay detrás?

-  `$y_i = \alpha + \delta D_i + f(ingreso_i) \varepsilon_i$`

- ¿Qué es `$y_i$`? 
  - ¿Qué es `$i$`?

- ¿Qué es `$D_i$`?
  - ¿Qué es `$f(ingreso_i)$`?

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## Inspección visual: Resultados de Corto Plazo

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## Inspección visual: Resultados de Corto Plazo

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## Inspección visual: Resultados de Corto Plazo

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## Inspección visual: Resultados de Corto Plazo

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## Inspección visual: Resultados de Corto Plazo

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## Estimación

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## Inspección visual: Resultados Intermedios

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## Inspección visual: Resultados Finales

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## Estimación

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## Inspección visual: Resultados Finales 2

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## Estimación

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## Heterogeneidad por reglas sobre uso de PC

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## Conclusiones

- Estudiantes que reciben el computador tienen peores notas en el colegio: de casi 1/3 de SD (efecto grande).

- Pero reportan mejores resultados en tests de habilidades para utilizar un computador (computer fluency)

- Algo de evidencia de que los ganadores del voucher mejoran sus habilidades cognitivas (test de Raven)

- Las reglas parentales sirven como mediadroes de estos efectos: Ej., reglas sobre tareas median los efectos negativos del computador en las notas

- El efecto neto de entregar computadores es incierto: 
--
 **¿Porqué?**

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## 2. Diferencias en Diferencias

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## Diferencias en Diferencias (Experimentos Naturales)

- Cuando no existe un experimento controlado en donde se asignan aleatoriamente personas a un grupo de control o tratamiento, se buscan **experimentos naturales**

- Por ejemplo, ¿cuál es el efecto de la contaminación sobre mortalidad? No podemos asignar aleatoriamente personas a distintos niveles de contaminación

- Los experimentos naturales son eventos exógenos que cambian el ambiente en que individuos, familias, empresas, ciudades, u otros, operan.

- .red[¿Exógeno?]

- Típicamente son una ley o política que cambia o fue implementada de manera diferenciada en distintos lugares o para distintas personas.

- La clave está en qué este experimento natural **causa** diferencias en nuestra variable de resultado, ya sea a través del espacio, tiempo, o individuos

---

## Identificación

- Una **estrategia de identificación** se refiere a cómo un investigador usa datos no experimentales para aproximarse a un experimento real.

- Una evaluación de impacto descansa en los **supuestos de identificación** para aislar el efecto de una política de otras variables que podrían confundir su interpretación (hint: sesgo de selección o sesgo de variable omitida)

- ¿Cuál es el supuesto de identificación en un modelo de MCO? (hint: MELI)

-  La parte difícil en métodos no-experimentales es decidir cuáles supuestos de identificación son posibles y cuáles no.

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## Datos de panel

- Muchos métodos no experimentales utilizan Una **datos de panel**

- Datos de corte transversal: observaciones en un período del tiempo
  - Datos de panel: múltiples observaciones para una misma unidad en el tiempo 
  - Datos de corte transversal repetidos: Similar a datos de panel pero se colectan para distintas unidades (personas) 
  - ¿Ejemplos en Chile?

- Algunas preguntas que se pueden responder con datos de panel:

- ¿Cuál es el impacto de la regulación ambiental sobre mortalidad infantil? 
  - ¿Cómo afecta una extensión del postnatal las decisiones laborales de las madres? 
  - ¿Cuál es el impacto del plan AUGE sobre tasas de utilización de servicios de salud y salud?

---

## Estimador de diferencias

- Usualmente se observa (se tiene información) de personas antes de que entren a un programa y después de que el programa termina.

- Estos datos pueden ser muy útiles cuando queremos evaluar un programa.

- Un estimador posible del impacto del programa con estos datos es ver el **cambio** antes y después del programa en nuestra variable de resultado

- Estimador de **diferencias** o el estimador "Antes y Después"

---

## Estimador "Antes y Después"

- Supongamos que todas las personas fueron tratadas bajo un programa. El estimador de diferencias se construye cómo:

`$$\Delta^{d}=\bar{Y}^{T}_{1,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_0}$$`

- Esta notación es la que utilizaremos. Pero lo que se simplifica es:

- `$\bar{Y}^{T}_{1,t_1}$` es equivalente a `$E[Y_{1i}| D=1, t=1]$`
  - `$\bar{Y}^{T}_{0,t_0}$` es equivalente a `$E[Y_{0i}| D=1, t=0]$`

---

## Estimador "Antes y Después"

- El estimador AD descansa en el **supuesto de identificación** de que el resultado de interés no cambia e la ausencia del programa.

- ¿Qué concepto esta relacionado a este supuesto?

`$$\begin{align}
\Delta^{d}&=\bar{Y}^{T}_{1,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_0}\\
	       &=\bar{Y}^{T}_{1,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_0} + \bar{Y}^{T}_{0,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_1}  \\
       	       &=(\bar{Y}^{T}_{1,t_1} -  \bar{Y}^{T}_{0,t_1}) + (\bar{Y}^{T}_{0,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_0})   \\
      	       &=\Delta^{ATET} + \textit{tendencia contrafactual del grupo de tratamiento} 
\end{align}$$`
	
--

- El **supuesto de identificación** es que el segundo término es igual a cero.

---

## Estimador "Antes y Después"

- El segundo término es el contrafactual que no tenemos: ¿Qué hubiese pasado al grupo de tratamiento de no haber sido tratado? `$\rightarrow$` no podemos revisar si el supuesto es válido.

- Sin evidencia directa sobre la tendencia del contrafactual, uno podría mirar tendencias antes del programa para el grupo de tratamiento. En muchos casos, este supuesto no es razonable.
--
 ¿Porqué?

--
 
 - El estimador AD no es un buen estimador de impacto: incluye el efecto del programa y una tendencia contrafactual que "contamina" la estimación
 
 - Para mejorar el AD uno necesita simular esta tendencia contrafactual con un grupo de control: Esto nos lleva al estimador de **Diferencias en Diferencias**

---

## Estimador de Diferencias en Diferencias

- Necesitamos estimar la tendencia contrafactual para el grupo de tratamiento

- Un estimador posible es la tendencia observada para un grupo que no recibió el tratamiento o programa en un mismo período

- El estimador de diferencias en diferencias se construye como:

`$$\begin{align}
\Delta^{DID}&=\Delta_{D=1}^{d} - \Delta_{D=0}^{d}\\
	       &=\underbrace{(\bar{Y}^{T}_{1,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_0})}_{\textit{Diferencias}} \underbrace{-}_{\textit{en}}  \underbrace{(\bar{Y}^{C}_{0,t_1} - \bar{Y}^{C}_{0,t_0})}_{Diferencias} 
\end{align}$$`

- El trabajo esta en encontrar un grupo de personas no tratadas y datos en los mismos períodos

---

## Estimador de Diferencias en Diferencias

- El estimador DID descansa en el **supuesto de identificación** de que la tendencia observada del grupo de control es la misma que la tendencia contrafactual del tratamiento. ¿Qué tan bueno es mi grupo de control?

`$$\begin{align}
\Delta^{DID}&=(\bar{Y}^{T}_{1,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_0}) -  (\bar{Y}^{C}_{0,t_1} - \bar{Y}^{C}_{0,t_0})\\
                   &= (\bar{Y}^{T}_{1,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_0}) -  (\bar{Y}^{C}_{0,t_1} - \bar{Y}^{C}_{0,t_0}) + \bar{Y}^{T}_{0,t_1} -  \bar{Y}^{T}_{0,t_1}  \\
                   &= (\bar{Y}^{T}_{1,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_1}) - (\bar{Y}^{T}_{0,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_0})   - (\bar{Y}^{C}_{0,t_1} - \bar{Y}^{C}_{0,t_0}) \\
                   &= \Delta^{ATET} + \textit{tendencia contrafactual del grupo de tratamiento}\\
                   & - \textit{tendencia del grupo de control}
\end{align}$$`

- El **supuesto de identificación** es que ambos grupos tendrían la misma tendencia en la ausencia del tratamiento. Esto se llama **supuesto de tendencias paralelas**.

---

## Visualización: lo que queremos estimar

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## Visualización: lo que estima AD

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## Visualización: lo que estima DID

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## Ejemplo 1: Brote de cólera en Londres en 1854

**John Snow (1854)**

- Dos compañías de agua compiten por clientes en algunas regiones del sur del río Thames: Lambeth Company (LC) y Southwark and Vauxhall  (SV)

- En 16 sub-distritos (300,000 habitantes), competían de manera directa y en algunos casos entregaban agua a los mismos hogares

- Cada compañía proveía de agua a grupos de hogares muy similares (ricos, pobres, hogares con alto y bajo número de habitantes)

- En 1849 cada caompañía sacaba agua del Thames que estaba contaminado. En 1852, LC mueve su infraestructura río arriba en zonas del Thames con agua (más). SV no cambió nada

- Un experimento natural ideal

---

## Resultados principales

]

- Tenemos 2 grupos y 2 períodos que registran tasas de mortalidad por cólera y diarrea
  - Lambeth: grupo tratado
  - Southwalk: grupo de control

- El efecto sobre los tratados (ATT) es de 10 muertes menos por cada 1,000 habitantes
- Estimación simple comparando combinaciones de 2x2

]

---

## Ejemplo 2: Empleo en industria de cómida rápida y salario mínimo

**Card y Krueger (1994)**

- La teoría económica predice que subir el salario mínimo reduce el empleo

- Card y Krueger toman un experimento natural para revisar esta predicción

- Abril 1, 1992: New Jersey sube su salario mínimo de 4.25 a 5.05
  - No hubo cambios en estados vecinos

- Oportunidad para un clásico DID

- Datos: empleo en restaurantes de comida rápida en NJ y PA antes (Feb 1992) y después (Nov 1992) de este aumento en salario mínimo

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## Distribución de la muestra

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## Resultados principales

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## Supuestos de Card y Krueger

- ¿Cuál es el supuesto detrás de este análisis?

- ¿Porqué podría no cumplirse?

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## Visualización: Lo que estima DID

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## Supuestos de Card y Krueger

- **Supuesto de identificación**: El empleo en NJ y PA tendría la misma tendencia en la ausencia del aumento en el salario mínimo (tratamiento). ¿Porqué no se cumpliría?

**1** ¿Qué pasa si PA tiene distintas tendencias que NJ desde antes de la política?
--
  `$\rightarrow$` no se cumple el supuesto de tendencias paralelas
 - Revisar si las tendencias son similares antes del programa

**2** ¿Qué pasa si otras cosas pasaron en NJ simultáneamente?
--
 `$\rightarrow$` no podemos interpretar el cambio como un efecto del salario mínimo (e.g. programas simultáneos de capacitación laboral) 
 
 - Revisar si no hay otros programas en paralelo

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## Ejemplo de problemas con tendencias paralelas

- Un ejemplo clásico de no cumplimiento del supuesto de tendencias paralelas se da en programa s de capacitación laboral. En el proceso de auto-selección a un programa así:

- ¿cómo se espera que sean los salarios de quiénes se inscriben y no se inscriben?

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## Efectos de programa de capacitación

- Podemos construir distintos estimadores DID cambiando el año basal: no deberían cambiar

- DID son similares para años basales pre-1963.
- El supuesto parece ser más sostenible para años pre 1963. Estos deberían ocuparse para

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## Resumen

- Los supuestos de identificación son distintos para distintos estimadores que ocupan datos no experimentales:

- Estimadores de corte transversal: no hay diferencias sistemáticas entre ambos grupos

- Estimadores de diferencia: no hay tendencia contrafactual en la ausencia del tratamiento, o la variable de interés se mantiene constante en el tiempo en ausencia de programa

- Estimadores de diferencias en diferencias: La tendencia observada en el grupo de control es la misma que la tendencia del contrafactual del tratamiento

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## Importante

- Estos son supuestos. No podemos (usualmente) probar si son correctos o no

- Esta es la diferencia fundamental entre métodos experimentales y no experimentales

- Para DID debemos argumentar los supuestos de identificación en base a:

- Tendencias paralelas en períodos previos al programa
- No hay otras intervenciones pasando al mismo tiempo

- Sin embargo, esto solo hace el supuesto más creíble ... **no lo prueba**

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## Diferencias en Diferencias en formato de regresión

`$$Y_{it} = \beta_0 + \beta_1 I_{it1} +  \beta_2 D_{i} +  \delta D_{i}\cdot I_{it1} + \varepsilon_{it}$$`

- Dos periodos: `$t=t_0,t_1$`

- `$I_{it1}=1$` para `$t=t_1$` y `$I_{it0}=0$` para `$t=t_0$`

- `$D_i=1$` para el grupo de tratamiento y `$D_i=0$` poara el grupo de control

- Entonces `$\delta=\Delta^{DID}$`

- Demostración de `$\hat{\delta}=(\bar{Y}^{T}_{1,t_1} - \bar{Y}^{T}_{0,t_0}) -  (\bar{Y}^{C}_{0,t_1} - \bar{Y}^{C}_{0,t_0})$`

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## Diferencias en Diferencias en formato de regresión

- Podemos incluir variables observables y controlar por ellas

`$$Y_{it} = \beta_0 + \beta_1 I_{it1} +  \beta_2 D_{i} +  \delta D_{i}\cdot I_{it1} + X_{it}'\lambda + \varepsilon_{it}$$`

- Esto solo se hace para corregir errores estándar o si creemos que hay alguna X relacionada con `$D_{i}$`

- Se espera que al agregar variables de control no haya cambios significativos en `$\hat{\delta}$`

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## Visualización: Lo que queremos estimar

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## Visualización: Lo que estima AD

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## Visualización: Lo que estima DID

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## Visualización: Horizonte temporal del problema

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## Visualización: Horizonte temporal del problema

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## Visualización: Horizonte temporal del problema

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## Características de los segmentos censales

**¿Por qué mostrar esta tabla? ¿De qué nos están tratando de convencer los autores?**

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## Evolución de robo de autos en el tiempo

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